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直接线性变换(Direct Linear Transform,DLT)

$s\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& t_x\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& t_y\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& t_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_w\\ Y_w\\ Z_w\\ 1\end{array}\right]$

由于 RT 一共有12维，因此，最少通过6对匹配点即可实现矩阵 RT 的线性求解，这种方法称为直接线性变换（Direct Linear Transform，DLT）。当匹配点大于6对时，也可以使用SVD等方法对超定方程求最小二乘解。

但由于 R 是一个旋转矩阵，其内部存在约束$R^T=R^{-1},R{R}^T=I,det(R)=1$，实际只需要三个变量就能表示。参考罗德里格斯公式（Rodrigues’s Formula）。

旋转矩阵有一些特别的性质。 事实上， 它是一个行列式为1的正交矩阵 $R^T=R^{-1}$。 反之，行列式为1的正交矩阵也是一个旋转矩阵。 所以， 可以把旋转矩阵的集合定义如下：

$SO(n)=\{$

R∈Rn×n∣RRT=I,det(R)=1}

当只有3对点时，可以考虑如下约束，进行非线性求解

$\left[\begin{array}{ccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{ccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right]}^T=I$

整理得：

$\{\begin{array}{c}{r}_{11}^2+r_{12}^2+r_{13}^2=1\\ r_{11}{r}_{21}+r_{12}{r}_{22}+r_{13}{r}_{23}=0\\ r_{11}{r}_{31}+r_{12}{r}_{32}+r_{13}{r}_{33}=0\\ r_{21}^2+r_{22}^2+r_{23}^2=1\\ r_{21}{r}_{31}+r_{22}{r}_{32}+r_{23}{r}_{33}=0\\ r_{31}^2+r_{32}^2+r_{33}^2=1\end{array}$

共6个方程，再加上3对点的6个方程，从而可以利用 LM 算法求解。

三点透视问题(Perspective-Three-Point Problem,P3P)

可以利用三角几何关系列方程求解，与非线性求解等价。

在求解P3P问题时，将三个三元二次方程，转换为两个二元二次方程，最终化为一个一元四次方程，从而求出了该问题的闭式解。

RANSAC(RANdom SAmple Consensus)

RANSAC的特点主要是可以从包含大量误差的数据中拟合出较为准确的模型。

该算法不同于最小二乘法，并没有将全部数据进行计算，而是类似于剔除粗大误差将计算为有效的点用来估计模型，从而使得估计更加准确。可以将其与Kmeans算法相结合用于数据模型的估计。

位置确定问题（Location Determination Problem, LDP）中的应用：即已知一组空间点的坐标，且给定了一张图像，并知道图像中点与空间点的对应关系，求图像的透视中心点在空间中的位置与姿态。

相机标定(Camera Calibration)

如果显示器模拟图像空间姿态变换用以标定相机，那么就说明已经知道了这个单应矩阵，因此该方法用于标定相机理论不可行。

对极约束

$x_2^T{t}^{\wedge }R{x}_1=0$

$p_2^T{K}^{-T}{t}^{\wedge }R{K}^{-1}{p}_1=0$

这两个式子都称为对极约束，它以形式简洁著名。它的几何意义是O1,P,O2三者共面。对极约束中同时包含了平移和旋转。我们把中间部分记作两个矩阵：基础矩阵（Fundamental Matrix）F和本质矩阵（Essential Matrix）E，于是可以进一步简化对极约束：

$E=t^{\wedge }R,F=K^{-T}E{K}^{-1},x_2^{T}E{x}_1=p_2^{T}F{p}_1=0$

由于E和F只相差了相机内参，而内参在SLAM中通常是已知的，所以实践当中往往使用形式更简单的E。

本质矩阵(Essential Matrix)

由于平移和旋转各有3个自由度，故 $t^{\wedge }R$ 共有6个自由度。但由于尺度等价性，故 E 实际上有5个自由度。

E具有5个自由度的事实，表明我们最少可以用5对点来求解E。但是，E的内在性

质是一种非线性性质，在求解线性方程时会带来麻烦，因此，也可以只考虑它的尺度 等价性，使用8对点来估计E——这就是经典的八点法（Eight-point-algorithm）[38,39] 。八点法只利用了E的线性性质，因此可以在线性代数框架下求解。

$\left[\begin{array}{ccc}{u}_1& v_1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{e}_1& e_2& e_3\\ e_4& e_5& e_6\\ e_7& e_8& e_9\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_2\\ v_2\\ 1\end{array}\right]=0$

OpenCV 中还有 7-point algorithm

参考文献

视觉SLAM十四讲：从理论到实践

视觉测量原理与方法 OpenCV官方文档 [Fischler81]Random Sample Consensus A Paradigm for Model Fitting with Applications to Image Analysis and Automated Cartography k-means++: The Advantages of Careful Seeding Complete Solution Classification for the Perspective-Three-Point Problem A Flexible New Technique for Camera Calibration 1997-PAMI-Richard I. Hartley-In Defense of the Eight-Point Algorithm

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